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Termo geral da PG: o expoente que conta multiplicações

Na PG, o expoente não é a posição: é quantas vezes você já multiplicou pela razão.

caiu 4× no ENEM · 2024 · 2023 · 2020aula de 2 minutos
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Em 60 segundos

Numa PG cada termo é o anterior vezes a mesma razão qq. Para pular direto ao termo nn, use an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}. O expoente é n−1n-1 porque o primeiro termo ainda não foi multiplicado nenhuma vez: a1=a1⋅q0a_1 = a_1 \cdot q^0. Se a contagem começa no passo 0 (superfície, instante inicial), o expoente vira o próprio passo: L(n)=L0⋅qnL(n) = L_0 \cdot q^n. Aumento de p%p\% por período é razão q=1+p100q = 1 + \frac{p}{100}; queda de p%p\% é q=1−p100q = 1 - \frac{p}{100}. Com q>1q > 1 os termos crescem, com 0<q<10 < q < 1 encolhem.

an=a1⋅q n−1a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}

  • ✓

    Termo n = primeiro termo × razão elevada a (n − 1)

  • ✓

    Expoente = número de multiplicações feitas, não a posição

  • ✓

    Começou no passo 0? Então o expoente é o próprio passo

  • ✓

    Cresce 50% → q = 1,5; cai 50% → q = 0,5

  • ✓

    O termo n é um valor só; soma de termos é outro nó

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Veja funcionando

0123456020406080100120posição ntermo aₙa₁ = 4·q⁰ = 4a₄ = 4·2³a₆ = 4·2⁵
  • q = 2 (dobra)
  • q = 1,5 (+50%)
  • q = 0,5 (metade)
Três PGs com o mesmo a₁ = 4: todas passam por 4 em n = 1 (expoente zero). Razão maior que 1 dispara; razão entre 0 e 1 encolhe.

🎛️ Mexa em q e veja a curva subir (q > 1) ou cair (q < 1); compare o termo certo com o valor de expoente n, que já é o próximo termo.

🧪 Simulação

Monte o termo geral de uma PG

Escolha o primeiro termo, a razão e a posição. Compare o termo certo, com expoente n − 1, com o erro clássico de usar expoente n.

Multiplicações feitas (n − 1)
4
Termo aₙ = a₁·q^(n−1)
48
Erro: a₁·qⁿ
96
0246810120100020003000400050006000posição ntermoseu termoa₁ (q⁰)
Cada ponto é o anterior vezes q; o primeiro ainda não foi multiplicado.

Até a posição 5 houve 4 multiplicações por 2: aₙ = 48. Quem usa expoente n acha 96, que é o termo seguinte.