ITA 2002 — Questão 27

Considere $n$ pontos distintos $A_1, A_2, \ldots A_n$ sobre uma circunferência de raio unitário, de forma que os comprimentos dos arcos $\overset{\frown}{A_1A_2}, \overset{\frown}{A_2A_3}, \ldots, \overset{\frown}{A_{n-1}A_n}$ formam uma progressão geométrica de termo inicial $\pi$ e razão $\frac{1}{2}$. Para que valores de $n \in N$ teremos o comprimento do arco $\overset{\frown}{A_nA_1}$ menor que $\frac{1}{512}$ do comprimento da circunferência?

Obs.: Para todo arco $\overset{\frown}{A_kA_l}$, o comprimento considerado é o do arco que une o ponto $A_k$ ao ponto $A_l$ no sentido anti-horário.