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Combinação: quando a ordem não importa

Grupo não é fila: conte as filas e divida pelas ordens de cada grupo.

caiu 25× no ENEM · 2022 (3) · 2020 (3) · 2017 (3)aula de 2 minutos
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Em 60 segundos

Combinação conta grupos: escolher Ana e Bia é o mesmo que escolher Bia e Ana. Por isso você conta como se fosse fila (arranjo) e divide pelas p!p! ordens de cada grupo: Cn,p=n!p! (n−p)!C_{n,p} = \dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}. Teste rápido: troque dois escolhidos de lugar; se nada muda, é combinação. Quando o problema junta escolhas diferentes ao mesmo tempo (2 tecidos e 5 pedras), multiplique as combinações. Se há casos proibidos, conte tudo e subtraia os proibidos.

Cn,p=n!p! (n−p)!=An,pp!C_{n,p} = \dfrac{n!}{p!\,(n-p)!} = \dfrac{A_{n,p}}{p!}

  • ✓

    Trocou a ordem e continuou o mesmo grupo? É combinação

  • ✓

    Todos contra todos com n times: C(n,2) = n(n−1)/2 partidas

  • ✓

    Escolhas simultâneas ("e") se multiplicam; não some

  • ✓

    Restrição: total de grupos menos os grupos proibidos

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    C(n,p) = C(n,n−p): escolher 2 de 10 é deixar 8 de fora

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Veja funcionando

GrupoFilas (arranjo)Conta como
{A, B}AB, BA1 grupo
{A, C}AC, CA1 grupo
{A, D}AD, DA1 grupo
{B, C}BC, CB1 grupo
{B, D}BD, DB1 grupo
{C, D}CD, DC1 grupo
Total12 filas12 ÷ 2! = 6 grupos
Escolhendo 2 de 4 pessoas: cada dupla aparece em 2! = 2 filas. Os 12 arranjos divididos por 2 dão as 6 combinações, C(4,2) = 6.

🎛️ Mexa em n e no tamanho p do grupo: veja as filas crescerem muito mais que os grupos, porque cada grupo se repete p! vezes como fila.

🧪 Simulação

Filas × grupos

Escolha quantos elementos há e o tamanho do grupo. Compare quantas filas ordenadas existem com quantos grupos diferentes elas formam.

Filas ordenadas (arranjo)
30
Ordens de cada grupo (p!)
2
Grupos diferentes (combinação)
15
0510152025303015
Arranjos (filas)
Combinações (grupos)
A barra dos grupos é a das filas dividida por p!.

Com 6 elementos e grupos de 2: 30 filas ordenadas, mas cada grupo aparece em 2 ordens. Grupos diferentes: 30 ÷ 2 = 15.