Forma geral: ax² + bx + c e seus disfarces

Preço × quantidade, grandeza ao quadrado, arco com duas raízes: tudo vira ax² + bx + c.

caiu 5× no ENEM · 2017 (2) · 2013 · 2012aula de 2 minutos

Em 60 segundos

Toda função do 2º grau cabe em $f(x) = ax^2 + bx + c$ , com $a \neq 0$ . O $a$ é o coeficiente do $x^2$ (não o primeiro termo escrito) e decide a abertura: $a > 0$ para cima, $a < 0$ para baixo. O $c$ é $f(0)$ : onde a parábola corta o eixo $y$ , o valor de partida do modelo. Se $a = 0$ , virou reta. No ENEM ela vem disfarçada: receita = preço × quantidade (dois fatores do 1º grau multiplicados), grandeza proporcional ao quadrado de outra ( $y = ax^2$ ) ou pelas raízes, $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ , com um ponto extra para achar o $a$ .

$f(x) = ax^2 + bx + c,\quad a \neq 0$

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a é o coeficiente do x² e não pode ser 0; com a = 0 vira 1º grau
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c = f(0): onde a curva corta o eixo y
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Produto de dois fatores do 1º grau na mesma variável dá 2º grau
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y proporcional a x²: dobrar x quadruplica y
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Com as raízes, escreva a(x − x₁)(x − x₂) e use um ponto para achar a

Veja funcionando

a = −1, b = 2, c = 3
a = 0,5; b = c = 0: y ∝ x²
a = 0: reta, não é 2º grau

−x² + 2x + 3 = −(x + 1)(x − 3): a < 0 abre para baixo, c = 3 é o corte no eixo y e as raízes saem da forma fatorada. 0,5x² passa pela origem (b = c = 0). Zerando o a, sobra uma reta.

🎛️ Mude só o c e veja a curva subir e descer inteira; troque o sinal de a e ela vira de cabeça para baixo; zere o a e ela vira reta.

🧪 Simulação

Os coeficientes a, b e c na parábola

Mexa em a, b e c e veja o que cada um faz com a curva. Leve o a até 0 e veja a parábola virar reta.

a (coeficiente do x²)-1b (coeficiente do x)2c (termo independente)3

f(0): 3
f(1) = a + b + c: 4
f(2) = 4a + 2b + c: 3
Segunda diferença f(2) − 2f(1) + f(0): -2

O c fixa o corte no eixo y; o sinal de a decide a abertura.

A curva corta o eixo y em 3, que é o c. A segunda diferença dos valores f(0), f(1), f(2) é -2 = 2a: se ela der 0, a função virou reta.