Vértice da parábola: onde mora o máximo e o mínimo

Lucro máximo, custo mínimo, altura máxima: no ENEM, quase sempre a resposta está no vértice.

caiu 6× no ENEM · 2022 (2) · 2024 · 2023aula de 2 minutos

Em 60 segundos

Toda parábola $f(x)=ax^2+bx+c$ tem um ponto de virada: o vértice. Se $a<0$ , ele é o máximo (lucro, altura, pico de infectados); se $a>0$ , é o mínimo (custo, menor montante). O $x$ do vértice diz quando ou onde o extremo acontece: $x_v=-\frac{b}{2a}$ , bem no meio das duas raízes. O $y$ diz quanto ele vale: $y_v=f(x_v)=-\frac{\Delta}{4a}$ . Antes de marcar, pergunte: o enunciado quer o $x$ ou o $y$ ? E o $x_v$ cabe no domínio (dias, meses, horas)?

$x_v = -\dfrac{b}{2a},\quad y_v = f(x_v) = -\dfrac{\Delta}{4a}$

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a < 0: o vértice é o máximo; a > 0: o vértice é o mínimo.
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x_v = −b/2a responde 'quando'; y_v = f(x_v) responde 'quanto'.
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O vértice fica no meio das raízes: é o eixo de simetria.
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Vértice pousado no eixo x significa Δ = 0.
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Confira o domínio e de onde a altura é medida.

Veja funcionando

a < 0: −x² + 6x − 4
a > 0: 0,5x² − 2x + 1

Concavidade para baixo: o vértice é o topo, no meio das raízes (3 = média de 0,76 e 5,24). Concavidade para cima: o vértice é o fundo.

🎛️ Mexa em a, b e c e siga o ponto do vértice: veja que x_v = −b/2a e que f(x_v) e −Δ/4a sempre coincidem.

🧪 Simulação

Ache o vértice de qualquer parábola

Troque a concavidade e mexa em a, b e c: o ponto marcado é sempre o vértice, e as duas contas de y dão o mesmo número.

Concavidade (−1 para baixo, +1 para cima)-1Tamanho de a (|a|)1Coeficiente b6Coeficiente c-4

a (com sinal): -1
x do vértice (−b/2a): 3
y do vértice: f(x_v): 5
Discriminante Δ: 20
Conferência: −Δ/4a: 5

O vértice acompanha a parábola: é o topo se a < 0 e o fundo se a > 0.

Com a = -1, o vértice está em x = 3 e vale y = 5 (e −Δ/4a = 5, o mesmo número). 'Quando' é 3; 'quanto' é 5.