Soma da PA: a média vezes a quantidade

Somou o primeiro com o último? Metade disso vezes n é o total.

caiu 4× no ENEM · 2013 · 2012 · 2011aula de 2 minutos

Em 60 segundos

Numa PA, o primeiro e o último termo somam o mesmo que o segundo e o penúltimo, o terceiro e o antepenúltimo… Foi o truque de Gauss: $1 + 100 = 2 + 99 = 101$ . Então você não precisa somar termo a termo: pegue a média entre o primeiro e o último, $\frac{a_1 + a_n}{2}$ , e multiplique pelo número de termos $n$ . Se faltar o último termo, ache antes com $a_n = a_1 + (n-1)r$ . O ENEM esconde a PA em produção que cresce sempre o mesmo, cartas em colunas, pilhas de caixas: o trabalho real é contar $n$ certo e responder o que foi pedido.

$S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}$

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Some o primeiro com o último, multiplique por n e divida por 2
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De 2012 a 2021 são 10 termos: inclua as duas pontas
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1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2
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Sem o último termo? Use a_n = a_1 + (n − 1)r antes
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Confira se a pergunta quer a soma ou o que sobra dela

Veja funcionando

Par (pontas para dentro)	Soma do par
1 + 100	101
2 + 99	101
3 + 98	101
…	…
50 + 51	101
50 pares iguais	50 × 101 = 5 050

O truque de Gauss: emparelhando as pontas, todo par soma a₁ + aₙ. Com n termos há n/2 pares, daí S = (a₁ + aₙ)·n/2.

🎛️ Arraste n e compare: a soma é sempre a média entre o primeiro e o último termo vezes n. Teste os ímpares e veja surgir n².

🧪 Simulação

Soma acumulada de uma PA

Mude o primeiro termo, a razão e o número de termos e veja o total crescer.

Primeiro termo (a₁)1Razão (r)1Número de termos (n)7

Último termo (aₙ): 7
Média entre a₁ e aₙ: 4
Soma dos n termos: 28

Com r > 0 a soma cresce cada vez mais rápido; com r = 0 vira uma reta (n vezes a₁).

Do 1º termo 1 ao 7º termo 7: a média é 4, e 4 × 7 = 28.