Termo geral da PA: pule direto para o n-ésimo

Do 1º ao n-ésimo termo há n − 1 saltos de tamanho r, não n.

caiu 8× no ENEM · 2023 (2) · 2020 · 2019aula de 2 minutos

Em 60 segundos

Numa PA, cada termo é o anterior mais a razão $r$ . Para chegar ao termo da posição $n$ sem listar tudo, conte os saltos: do 1º ao $n$ -ésimo são $n - 1$ . Daí $a_n = a_1 + (n-1)\,r$ . A fórmula funciona nos dois sentidos: dá o termo (quanto valerá em 2030?) e dá a posição, $n = \frac{a_n - a_1}{r} + 1$ (quantos postes? em que ciclo?). Se o passo não é 1 (a cada 4 anos, a cada 11 anos), conte períodos e só no fim volte ao calendário. Termos comuns a duas PAs formam outra PA, com razão igual ao mmc das razões.

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

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Do 1º ao n-ésimo termo: n − 1 saltos de r
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Número de termos = (último − primeiro) ÷ r + 1
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Razão negativa = PA decrescente (quedas constantes)
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Passo de 4 em 4 anos? Conte períodos, depois converta em anos
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Termos comuns a duas PAs: nova PA com razão igual ao mmc

Veja funcionando

a₁ = 2, r = 3
a₁ = 20, r = −2
a₁ = 8, r = 0

Toda PA é uma reta de pontos: a razão é a inclinação (sobe, desce ou fica). Do 1º ao 10º termo são 9 saltos, não 10.

🎛️ Mexa em a₁, na razão e na posição n: veja os n − 1 saltos até o termo e compare com o valor errado de quem dá n saltos.

🧪 Simulação

Saltando até o n-ésimo termo

Escolha o primeiro termo, a razão e a posição n. Conte os n − 1 saltos até o termo e compare com o erro de dar n saltos.

Primeiro termo a₁2Razão r3Posição n10

Saltos do 1º ao n-ésimo: 9
Termo aₙ: 29
Usando n no lugar de n − 1: 32

Cada ponto é um termo; entre dois vizinhos a altura muda sempre r.

Do 1º ao 10º termo são 9 saltos de 3: aₙ = 2 + 9·(3) = 29. Com n no lugar de n − 1 você acharia 32, que é o termo seguinte.