ITA 2002 — Questão 25

1. Mostre que se uma matriz quadrada não–nula $A$ satisfaz a equação

$A^3 + 3A^2 + 2A = 0 \qquad (1)$

então $(A + I)^3 = A + I$, em que $I$ é a matriz identidade.

2. Sendo dado que

$A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$

satisfaz à equação (1) acima, encontre duas matrizes não-nulas $B$ e $C$ tais que $B^3 + C^3 = B + C = A$. Para essas matrizes você garante que o sistema de equações

$(B - C)\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

tem solução $(x, y) \neq (0, 0)$? Justifique.