ITA 2009 — Questão 24

Suponha que a equação algébrica

$x^{11} + \sum_{n=1}^{10} a_n x^n + a_0 = 0$

tenha coeficientes reais $a_0, a_1, \ldots, a_{10}$ tais que as suas onze raízes sejam todas simples e da forma $\beta + i\gamma_n$, em que $\beta,\ \gamma_n \in \mathbb{R}$ e os $\gamma_n$, $n = 1, 2, \ldots, 11$, formam uma progressão aritmética de razão real $\gamma \neq 0$. Considere as três afirmações abaixo e responda se cada uma delas é, respectivamente, verdadeira ou falsa, justificando sua resposta:

I. Se $\beta = 0$, então $a_0 = 0$.

II. Se $a_{10} = 0$, então $\beta = 0$.

III. Se $\beta = 0$, então $a_1 = 0$.