ITA 2015 — Questão 11

Sejam $\alpha$ e $\beta$ números reais tais que $\alpha, \beta, \alpha + \beta \in ]0, 2\pi[$ e satisfazem as equações

$\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{4}{5} \cos^4 \frac{\alpha}{2} + \frac{1}{5}$ e $\cos^2 \frac{\beta}{3} = \frac{4}{7} \cos^4 \frac{\beta}{3} + \frac{3}{7}$

Então, o menor valor de $\cos(\alpha + \beta)$ é igual a