ITA 2026 (2ª fase) — Questão 6

Dados os números reais $\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots, \alpha_{n-1}$, defina as matrizes $A = (a_{ij})$ e $B = (b_{ij})$, ambas de ordem $n \times n$, por

$a_{ij} = \begin{cases} 0, & \text{se } j \geq i, \\ \alpha_j^{\,i-j-1}, & \text{se } j < i \end{cases}$

$b_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{se } j \geq i, \\ 0, & \text{se } j < i \end{cases}$

Suponha que a soma dos elementos da coluna $j$ da matriz $AB$ seja igual a $n - j$.

a) Determine o determinante de $AB$.

b) Determine o traço de $AB$ em função de $n$.

c) Supondo que $n = 5$, determine todos os possíveis valores de $\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3,\ \alpha_4 \in \mathbb{R}$.