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Matemática

ITA 2027 Matemática — Questão 5

Três jogadores disputam um jogo, arremessando moedas. O jogador AA arremessa uma moeda repetidas vezes até que obtenha cara, recebendo um ponto por lançamento. O jogador BB joga três moedas e recebe um ponto por cada coroa. O jogador CC joga uma moeda e recebe três pontos se obtiver coroa e zero caso contrário. Considere as seguintes afirmações:

I. A probabilidade de AA fazer mais pontos que BB é maior que 50%50\%.

II. A probabilidade de empate entre AA e BB é maior que 25%25\%.

III. A probabilidade de BB fazer mais pontos que CC é maior que 50%50\%.

É (São) VERDADEIRA(S):

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Só quero ver o gabarito

Gabarito oficial do ITA 2027 Matemática, questão 5: alternativa C

Apenas II.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você condiciona no jogador "finito" ($B$, com 4 resultados) e usa a cauda da geométrica, $P(A > k) = (1/2)^k$, em vez de somar séries.

Por onde começar · passo 1 de 4

Escreva as distribuições

Quais os valores possíveis de pontos de AA, BB e CC e suas probabilidades?

AA: precisa de kk lançamentos (k−1k-1 coroas e depois cara), P(A=k)=(1/2)kP(A = k) = (1/2)^k, k≥1k \ge 1; e P(A>k)=(1/2)kP(A > k) = (1/2)^k (as kk primeiras são coroa). B∼B \sim binomial(3,1/2)(3, 1/2): P(B=0,1,2,3)=18,38,38,18P(B = 0,1,2,3) = \frac18, \frac38, \frac38, \frac18. CC: 0 ou 3, cada um com 12\frac12.

A armadilha

A intuição engana: $A$ tem média 2 pontos e $B$ só 1,5, então parece que $A$ vence com mais de 50% — mas $P(A > B) = 27/64 \approx 42\%$. Quem confia na média aceita a I e marca B, D ou E.

Quem cai nela marca B, D, E.

bP(B = b)P(A > b)P(A = b)contribui p/ A > Bcontribui p/ A = B
08/64108/640
124/641/21/212/6412/64
224/641/41/46/646/64
38/641/81/81/641/64
total127/64 ≈ 42%19/64 ≈ 30%
Condicionando em $B$: a soma da penúltima coluna fica abaixo de 32/64 (I falsa) e a da última passa de 16/64 (II verdadeira).

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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🧭 Explicação detalhada ITA

O que a questão pede

Calcular três probabilidades e comparar com 50% ou 25%. O que está escondido: AA pode lançar a moeda infinitas vezes, mas não é preciso somar série nenhuma. Basta condicionar no jogador que tem poucos resultados (BB, com 4) e usar uma fórmula curta para a chance de AA passar de um valor.

Antes de começar, revise

  • Distribuição de $A$
  • Binomial
  • Probabilidade total
  • Média não decide quem vence

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