Circunferência: centro, raio e a equação da distância

Todo ponto a distância r de um centro: é só a fórmula da distância elevada ao quadrado.

caiu 7× no ENEM · 2015 (2) · 2012 (2) · 2019aula de 2 minutos

Em 60 segundos

A circunferência de centro $(a, b)$ e raio $r$ é o conjunto dos pontos a distância $r$ do centro. Escreva a distância e eleve ao quadrado: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ . Dois cuidados: o lado direito é $r^2$ (em $x^2 + y^2 = 9$ o raio é 3), e o centro tem sinal oposto ao da equação ( $(x+2)^2$ dá $a = -2$ ). Trocando $=$ por $\le$ , você tem o disco. A circunferência não é gráfico de função, mas cada metade é: $y = b \pm \sqrt{r^2 - (x-a)^2}$ . Saber a distância a um ponto fixo põe o objeto numa circunferência.

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

✓
Centro (a, b) e raio r vêm da fórmula da distância
✓
O número do lado direito é r²: tire a raiz para achar o raio
✓
(x − a)²: o centro tem sinal oposto ao que aparece na equação
✓
Dentro do disco: distância ao centro ≤ r
✓
Metade de baixo: y = −√(r² − x²); metade de cima: +√

Veja funcionando

A equação é a distância ao centro elevada ao quadrado. Pontos com distância igual ao raio estão na circunferência; menor, dentro do disco; maior, fora. O 9 do lado direito é r², então o raio é 3.

🎛️ Ponha o centro em a = −2 e veja o coeficiente de x ficar positivo: o sinal na equação é o oposto do centro. Dobre o raio e o lado direito quadruplica.

🧪 Simulação

Monte a equação da circunferência

Mova o centro e mude o raio; veja a equação reduzida e a desenvolvida mudarem, e onde fica a origem.

Abscissa do centro (a)2Ordenada do centro (b)1Raio (r)3

Lado direito (r²): 9
Coeficiente de x (−2a): -4
Coeficiente de y (−2b): -2
Termo independente (a² + b² − r²): -4
Distância da origem ao centro: 2,24
d − r (negativo: origem dentro): -0,76

O raio é a distância do centro a qualquer ponto da curva.

Centro (2; 1) e raio 3: do lado direito fica r² = 9, não 3. Desenvolvendo: x² + y² + (-4)x + (-2)y + (-4) = 0. A origem está a 2,24 do centro; d − r = -0,76.