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Matemática

ITA 2006 Matemática — Questão 20

Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja diagonal menor mede 33 cm3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}. As faces laterais desta pirâmide formam diedros de 60∘60^\circ com o plano da base. A área total da pirâmide, em cm2\mathrm{cm}^2, é

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Gabarito do ITA 2006 Matemática, questão 20: alternativa A

8132\dfrac{81\sqrt{3}}{2}

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você usa a projeção ortogonal: com todas as faces a 60° da base, a área lateral é a da base dividida por cos 60°.

Por onde começar · passo 1 de 4

Ache a aresta da base

No hexágono regular de lado ℓ, quanto mede a diagonal menor?

A diagonal menor liga dois vértices separados por um: forma triângulo isósceles com lados ℓ,ℓ\ell, \ell e ângulo de 120∘120^\circ, dando ℓ3\ell\sqrt{3}. Então ℓ3=33\ell\sqrt{3} = 3\sqrt{3} e ℓ=3\ell = 3 cm. (A diagonal maior é 2ℓ2\ell; não confunda.)

A armadilha

Quem para na área lateral (27√3) esquece de somar a base; quem lê a diagonal menor como 2ℓ (a diagonal maior) ou erra o seno/cosseno do diedro cai nas opções com √2 ou sem √3.

Quem cai nela marca D, B, E, C.

m = 3√3/2h = 9/2g = 3√360°VOM
Seção pelo centro O e pelo ponto médio M da aresta da base: o ângulo em M é o diedro de 60°, então g = 2m.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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