ITA 2025 — Questão 11

Seja $H$ uma hipérbole no plano cartesiano cujos focos são comuns aos focos da elipse $E: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1$. Seja $P$ um ponto de interseção de $E$ e $H$ no primeiro quadrante e $O$ a origem do sistema cartesiano. Sabendo que $OP$ forma um ângulo $\theta$ com o eixo horizontal $O_x$, com $\tan(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{6}$, a excentricidade de $H$ é