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Matemática

ITA 2027 Matemática — Questão 3

Seja ABCABC um triângulo no plano cartesiano com vértices A=(0,0)A = (0, 0), B=(2,4)B = (2, 4) e CC, o qual pertence à circunferência de raio 22 e centro (4,0)(4, 0). A maior área possível para o triângulo ABCABC é

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Só quero ver o gabarito

Gabarito oficial do ITA 2027 Matemática, questão 3: alternativa C

8+258 + 2\sqrt{5}.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você fixa a base $AB$ e transforma "maior área" em "maior distância de um ponto da circunferência até a reta $AB$": distância do centro mais o raio.

Por onde começar · passo 1 de 4

Fixe a base AB

Qual o comprimento de ABAB e a equação da reta que passa por AA e BB?

AB=22+42=20=25AB = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt5. A reta passa pela origem com inclinação 2: y=2xy = 2x, ou 2x−y=02x - y = 0. Como a base é fixa, maximizar a área é maximizar a altura, isto é, a distância de CC à reta ABAB.

A armadilha

Testar só pontos "óbvios" da circunferência, como $C = (6,0)$, dá área 12 (A), que é possível mas não é a máxima. E quem soma algo errado à distância chega a valores maiores que o máximo real, como D e E.

Quem cai nela marca A, D, E.

y = 2xárea máx.8/√5 + 2ABOC*(6,0)
A perpendicular a $AB$ pelo centro $O$ atravessa a circunferência no ponto $C^*$, o mais distante da reta; o ponto $(6,0)$ fica um pouco mais perto e dá área 12.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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🧭 Explicação detalhada ITA

O que a questão pede

A maior área do triângulo ABCABC quando CC percorre uma circunferência. O que está escondido: AA e BB são fixos, então a base ABAB não muda, e maximizar a área é maximizar a distância de CC até a reta ABAB.

Antes de começar, revise

  • Área por base e altura
  • Reta por dois pontos
  • Distância de ponto a reta
  • Ponto da circunferência mais longe de uma reta

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