Matemática

ITA 2027 Matemática — Questão 7

Determine todos os números $x \in \mathbb{R}$ que satisfazem a equação

$\frac{\operatorname{sen}^2(x)}{1 - \cos(x)} \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) = 1 - \operatorname{sen}(x) - \cos(x).$

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00:00

A
$x = 2\operatorname{arctg}(2) + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$ .
B
$x = 2\operatorname{arctg}(2) + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$ .
C
$x = 2\operatorname{arctg}(3) + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$ .
D
$x = 2\operatorname{arctg}(4) + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$ .
E
$x = 2\operatorname{arctg}(4) + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$ .

Só quero ver o gabarito

Gabarito oficial do ITA 2027 Matemática, questão 7: alternativa B

$x = 2\operatorname{arctg}(2) + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$ .

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você simplifica o lado esquerdo até virar $\operatorname{sen} x$, resolve com $t = \operatorname{tg}(x/2)$ e, no fim, joga fora a raiz que viola o domínio e acerta o período.

Por onde começar · passo 1 de 4

Fixe o domínio

Para que valores de $x$ a expressão da esquerda não existe?

Precisa $1 - \cos x \ne 0$ , ou seja, $x \ne 2k\pi$ ; e $\operatorname{tg}(x/2)$ existe só se $x/2 \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ , ou seja, $x \ne \pi + 2k\pi$ . Guarde essas exclusões para o fim.

A armadilha

Duas armadilhas: o período. $t = \operatorname{tg}(x/2)$ fixa $x/2$ a menos de $k\pi$, então $x$ fica a menos de $2k\pi$ — escrever $+k\pi$ (A, D) inclui pontos que não são solução. E a raiz $t = 0$ ($x = 2k\pi$) zera $1 - \cos x$ e precisa ser descartada.

Quem cai nela marca A, D.

2 sen x + cos x
y = 1

Em $[0, 2\pi]$, $2\operatorname{sen}x + \cos x$ toca $y = 1$ em $x = 0$ (proibido), em $x = 2\operatorname{arctg}2$ e em $x = 2\pi$ (proibido): uma solução por volta, período $2\pi$.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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O que a questão pede

Todas as soluções reais da equação. O que está escondido: o lado esquerdo, que parece feio, vira simplesmente $\mathrm{sen}\,x$ ; e as alternativas diferem no valor ( $\mathrm{arctg}\,2$ , $3$ ou $4$ ) e no período ( $k\pi$ ou $2k\pi$ ). As duas coisas precisam ser decididas.

Antes de começar, revise

Domínio
Arco-metade
Relação fundamental
Período da tangente

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