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Matemática

ITA 2006 Matemática — Questão 14

Sobre o polinômio p(x)=x5−5x3+4x2−3x−2p(x) = x^5 - 5x^3 + 4x^2 - 3x - 2 podemos afirmar que

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Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2006 Matemática, questão 14: alternativa E

pp admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você acha a raiz racional óbvia, baixa o grau e reconhece que o quociente é um polinômio recíproco.

Por onde começar · passo 1 de 5

Procure raízes racionais

Pelo teorema das raízes racionais, quais são os candidatos? Algum zera p?

Coeficiente líder 1 e termo independente −2: candidatos ±1, ±2. p(1)=1−5+4−3−2=−5p(1) = 1-5+4-3-2 = -5, p(−1)=−1+5+4+3−2=9p(-1) = -1+5+4+3-2 = 9, p(−2)=−32+40+16+6−2=28p(-2) = -32+40+16+6-2 = 28 e p(2)=32−40+16−6−2=0p(2) = 32-40+16-6-2 = 0. Só x=2x = 2 é raiz racional — isso já elimina a A e mostra que não existem raízes racionais não inteiras (contra a B).

A armadilha

Quem para em p(2) = 0 e chuta o resto sem fatorar o quociente de grau 4 erra a contagem: ele tem duas raízes reais irracionais e duas complexas, não quatro reais nem nenhuma real.

Quem cai nela marca B, C, D.

-2-1012-20-100102030xp(x)(−3 − √5)/2(−3 + √5)/2x = 2
O gráfico corta o eixo x exatamente três vezes: em 2 e nas duas raízes irracionais (−3 ± √5)/2.

Na resolução completa vêm os outros 4 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

Ver a resolução completa

Entenda por que cada alternativa está certa ou errada, passo a passo — gerado pela IA do Esmer.

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