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Matemática

ITA 2005 Matemática — Questão 10

Em relação a um sistema de eixos cartesiano ortogonal no plano, três vértices de um tetraedro regular são dados por A=(0,0)A = (0, 0), B=(2,2)B = (2, 2) e C=(1−3,1+3)C = (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}). O volume do tetraedro é

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Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2005 Matemática, questão 10: alternativa A

83\dfrac{8}{3}.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você reconhece que três pontos do plano já fixam a aresta do tetraedro regular — e se lembra do volume a³√2/12 (ou do truque do cubo).

Por onde começar · passo 1 de 5

Calcule os três lados do triângulo ABC

As distâncias AB, AC e BC são iguais? Quanto valem?

AB2=22+22=8AB^2 = 2^2 + 2^2 = 8. AC2=(1−3)2+(1+3)2=2(1+3)=8AC^2 = (1-\sqrt3)^2 + (1+\sqrt3)^2 = 2(1+3) = 8. B−C=(1+3, 1−3)B - C = (1+\sqrt3,\ 1-\sqrt3), logo BC2=8BC^2 = 8. Triângulo equilátero de lado a=22a = 2\sqrt2: é a face do tetraedro regular.

A armadilha

Fazer área da base × altura e esquecer o 1/3 da pirâmide: 2√3 · 4√3/3 = 8, que é a alternativa E. Errar a altura do tetraedro deixa um √3 sobrando, e aparecem C ou D.

Quem cai nela marca E, C, D.

A (0, 0)B (2, 2)C (1 − √3, 1 + √3)2√22√22√2G (pé da altura)
Os três vértices dados formam um triângulo equilátero de lado 2√2: essa é a aresta do tetraedro; o pé da altura cai no baricentro G.

Na resolução completa vêm os outros 4 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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Entenda por que cada alternativa está certa ou errada, passo a passo — gerado pela IA do Esmer.

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