Matemática

ITA 2005 Matemática — Questão 11

No desenvolvimento de $(ax^2 - 2bx + c + 1)^5$ obtém-se um polinômio $p(x)$ cujos coeficientes somam 32. Se $0$ e $-1$ são raízes de $p(x)$ , então a soma $a + b + c$ é igual a

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00:00

A
$-\dfrac{1}{2}$ .
B
$-\dfrac{1}{4}$ .
C
$\dfrac{1}{2}$ .
D
$1$ .
E
$\dfrac{3}{2}$ .

Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2005 Matemática, questão 11: alternativa A

$-\dfrac{1}{2}$ .

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você traduz "soma dos coeficientes" em p(1) e "raiz" em p(r) = 0 sem expandir a quinta potência.

Por onde começar · passo 1 de 4

Traduza a soma dos coeficientes

Que valor de x faz p(x) virar a soma dos coeficientes?

A soma dos coeficientes é $p(1) = (a - 2b + c + 1)^5 = 32 = 2^5$ . Como os coeficientes são reais e $t \mapsto t^5$ é injetora em $\mathbb R$ , $a - 2b + c + 1 = 2$ .

A armadilha

Expandir (ax² − 2bx + c + 1)^5 é perda de tempo. O erro comum é de sinal em p(−1): o termo −2bx vira +2b, e quem escreve a − 2b chega a b = +1/2 e marca C.

Quem cai nela marca C, E.

Informação	Condição em p	Condição em q = ax² − 2bx + c + 1
Soma dos coeficientes = 32	p(1) = 32	a − 2b + c + 1 = 2
0 é raiz	p(0) = 0	c + 1 = 0 → c = −1
−1 é raiz	p(−1) = 0	a + 2b + c + 1 = 0 → a + 2b = 0
Solução	—	a = 1, b = −1/2, c = −1
Resposta	a + b + c	−1/2

Cada informação vira uma equação em q = base da quinta potência, sem expandir nada.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

Ver a resolução completa

Entenda por que cada alternativa está certa ou errada, passo a passo — gerado pela IA do Esmer.

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