Matemática

ITA 2005 Matemática — Questão 12

O menor inteiro positivo $n$ para o qual a diferença $\sqrt{n} - \sqrt{n-1}$ fica menor que $0{,}01$ é

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00:00

A
$2499$ .
B
$2501$ .
C
$2500$ .
D
$3600$ .
E
$4900$ .

Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2005 Matemática, questão 12: alternativa B

$2501$ .

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você racionaliza a diferença de raízes e trata com rigor a desigualdade estrita na fronteira n = 2500.

Por onde começar · passo 1 de 4

Racionalize a diferença

Por qual expressão multiplicar √n − √(n − 1) para sumir com as raízes no numerador?

Multiplicando e dividindo pelo conjugado: $\sqrt n - \sqrt{n-1} = \dfrac{n - (n-1)}{\sqrt n + \sqrt{n-1}} = \dfrac{1}{\sqrt n + \sqrt{n-1}}$ . Vale para todo $n \ge 1$ .

A armadilha

Aproximar √n + √(n − 1) ≈ 2√n dá 2√n > 100, n > 2500 — e muita gente marca 2500. Mas em n = 2500 a soma é 50 + √2499 < 100, então a diferença ainda é maior que 0,01.

Quem cai nela marca C, A.