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Matemática

ITA 2005 Matemática — Questão 13

Seja D=R∖{1}D = \mathbb{R} \setminus \{1\} e f:D→Df : D \to D uma função dada por

f(x)=x+1x−1 .f(x) = \frac{x + 1}{x - 1}\,.

Considere as afirmações:

I. ff é injetiva e sobrejetiva.

II. ff é injetiva, mas não sobrejetiva.

III. f(x)+f(1x)=0f(x) + f\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0, para todo x∈Dx \in D, x≠0x \neq 0.

IV. f(x)⋅f(−x)=1f(x) \cdot f(-x) = 1, para todo x∈Dx \in D.

Então, são verdadeiras

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Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2005 Matemática, questão 13: alternativa A

apenas I e III.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você checa o domínio em cada identidade: uma igualdade algebricamente certa pode falhar porque um dos lados nem existe.

Por onde começar · passo 1 de 4

Inverta f para testar injetividade e sobrejetividade

Dado y ≠ 1, existe exatamente um x ≠ 1 com f(x) = y?

De y(x−1)=x+1y(x-1)=x+1 vem x(y−1)=y+1x(y-1)=y+1, logo x=y+1y−1x=\frac{y+1}{y-1}, único e definido para todo y≠1y\neq1. Esse x nunca vale 1, pois y+1y−1=1\frac{y+1}{y-1}=1 exigiria 1=−11=-1. Então cada y∈Dy\in D tem exatamente uma pré-imagem em DD.

A armadilha

A conta de IV dá $f(x)\cdot f(-x)=1$ e quem para aí marca I e IV juntas. Mas em $x=-1\in D$ o termo $f(-x)=f(1)$ não existe, então o 'para todo $x\in D$' é falso.

Quem cai nela marca B, D, E.

-6-4-20246-8-6-4-20246810xf(x)f(−1) = 0f(0) = −1f(3) = 2
  • f(x), x < 1
  • f(x), x > 1
  • y = 1 (nunca atingido)
Hipérbole com assíntotas x = 1 e y = 1: cada reta horizontal y ≠ 1 corta o gráfico uma única vez, então f é bijetiva de D em D.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

Ver a resolução completa

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