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Matemática

ITA 2005 Matemática — Questão 17

Seja z∈Cz \in \mathbb{C} com ∣z∣=1|z| = 1. Então, a expressão ∣1−zˉwz−w∣\left|\dfrac{1 - \bar{z}w}{z - w}\right| assume valor

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Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2005 Matemática, questão 17: alternativa D

igual a 1, independente de ww com w≠zw \neq z.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você enxerga que, com |z| = 1, o conjugado é o inverso: z̄ = 1/z, e isso transforma o numerador num múltiplo do denominador.

Por onde começar · passo 1 de 4

Use a hipótese |z| = 1 na forma algébrica

O que ∣z∣=1|z| = 1 diz sobre o produto zzˉz\bar z?

Para todo complexo, zzˉ=∣z∣2z\bar z = |z|^2. Com ∣z∣=1|z| = 1, isso dá zzˉ=1z\bar z = 1, ou seja, zˉ=1/z\bar z = 1/z. É essa troca do número 1 por zzˉz\bar z que destrava a questão.

A armadilha

Quem testa só alguns w (dentro ou fora do disco unitário) e generaliza um comportamento que imagina ver acaba marcando A, B ou E. Na verdade a razão é constante: não depende de |w|.

Quem cai nela marca A, B, C, E.

|z| = 10zw|z − w| = √1,64z − w1 − z̄w = z̄(z − w)0,32 + 1,24i−0,8 + i
O vetor 1 − z̄w é o vetor z − w girado por z̄ (módulo 1): os dois têm o mesmo comprimento √1,64, então a razão é 1.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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