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Matemática

ITA 2005 Matemática — Questão 18

O sistema linear

{bx+y=1by+z=1x+bz=1\begin{cases} bx + y = 1 \\ by + z = 1 \\ x + bz = 1 \end{cases}

não admite solução se e somente se o número real bb for igual a

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Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2005 Matemática, questão 18: alternativa A

−1-1.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você discute um sistema 3×3 sem escalonar tudo: determinante nulo é necessário para não haver solução, mas é preciso conferir que o caso é impossível, e não indeterminado.

Por onde começar · passo 1 de 4

Calcule o determinante dos coeficientes

Qual é o determinante de (b100b110b)\begin{pmatrix} b & 1 & 0 \\ 0 & b & 1 \\ 1 & 0 & b \end{pmatrix}?

Por Sarrus: diagonais principais b⋅b⋅b+1⋅1⋅1+0⋅0⋅0=b3+1b\cdot b\cdot b + 1\cdot 1\cdot 1 + 0\cdot 0\cdot 0 = b^3 + 1; diagonais secundárias 0⋅b⋅1+b⋅1⋅0+1⋅0⋅b=00\cdot b\cdot 1 + b\cdot 1\cdot 0 + 1\cdot 0\cdot b = 0. Logo D=b3+1D = b^3 + 1.

A armadilha

Quem para em 'det = 0' sem checar a compatibilidade, ou erra o sinal do termo cíclico do determinante (achando b³ − 1), marca b = 1 (C). Quem testa b = 0 pensando que 'some a variável' marca B.

Quem cai nela marca B, C.

-2-1012-15-10-5051015bdeterminante Db = −1: D = 0b = 0: D = 1b = 1: D = 2
O determinante b³ + 1 corta o eixo uma única vez, em b = −1: é o único candidato a sistema sem solução.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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Entenda por que cada alternativa está certa ou errada, passo a passo — gerado pela IA do Esmer.

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