EsmerEntrar
Matemática

ITA 2006 Matemática — Questão 5

Considere a equação (ax−a−x)/(ax+a−x)=m(a^x - a^{-x})/(a^x + a^{-x}) = m, na variável real xx, com 0<a≠10 < a \neq 1. O conjunto de todos os valores de mm para os quais esta equação admite solução real é

👉 Tente resolver: clique na alternativa e confirme sua resposta.Rascunho de prova: ✕ elimina, ★ marca como provável (no celular, arraste a alternativa para o lado).

00:00
Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2006 Matemática, questão 5: alternativa C

(−1; 1)(-1;\, 1)

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você acha a imagem de uma função trocando a variável certa e isolando-a, em vez de chutar valores de x.

Por onde começar · passo 1 de 4

Troque a variável

Que substituição transforma a expressão numa fração racional simples?

Multiplique numerador e denominador por axa^x: fica a2x−1a2x+1\dfrac{a^{2x}-1}{a^{2x}+1}. Faça t=a2xt = a^{2x}. Como 0<a≠10 < a \neq 1, a função x↦a2xx \mapsto a^{2x} é bijeção de R\mathbb{R} sobre (0,+∞)(0,+\infty) (crescente se a>1a>1, decrescente se 0<a<10<a<1).

A armadilha

Quem não examina os extremos acha que m pode valer ±1 ou qualquer real; quem pensa só em m positivo ou esquece o m = 0 marca intervalos que não batem com a imagem exata (−1, 1).

Quem cai nela marca A, B, D, E.

-4-2024-1-0,500,51xmm = 0 é atingidonunca chega a 1nunca chega a −1
  • a = 2
  • assíntota y = 1
  • assíntota y = −1
A curva (a = 2) cobre todo valor estritamente entre −1 e 1 e só se aproxima das retas y = ±1.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

Ver a resolução completa

Entenda por que cada alternativa está certa ou errada, passo a passo — gerado pela IA do Esmer.

Com a conta grátis você vê 5 explicações completas. No Premium, por R$ 29/mês, todas — e ainda o diagnóstico do seu erro.

⚡ Com a conta grátis você responde as questões oficiais e vê o gabarito

Encontrou um problema nesta questão?

📄 Ver esta questão na prova oficial do ITA (PDF, Matemática)

Onde estudar isto

Questões relacionadas

Mais questões