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Matemática

ITA 2005 Matemática — Questão 16

O intervalo I⊂RI \subset \mathbb{R} que contém todas as soluções da inequação

arctan⁡1+x2+arctan⁡1−x2≥π6\arctan\frac{1 + x}{2} + \arctan\frac{1 - x}{2} \geq \frac{\pi}{6}

é

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Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2005 Matemática, questão 16: alternativa C

[−2,3][-2, 3].

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você aplica a tangente da soma ao arctan sabendo em que quadrante a soma dos arcos cai.

Por onde começar · passo 1 de 4

Nomeie os arcos e calcule a tangente da soma

Quanto valem u + v e uv em função de x?

Seja α=arctan⁡u\alpha=\arctan u, β=arctan⁡v\beta=\arctan v, com u=1+x2u=\frac{1+x}{2} e v=1−x2v=\frac{1-x}{2}. Então u+v=1u+v=1 e uv=1−x24uv=\frac{1-x^2}{4}.

A armadilha

Quem resolve a inequação mas compara com intervalos sem pensar que a pergunta é 'qual contém todas as soluções' escolhe um intervalo que só cobre parte de $[-1{,}98;\,1{,}98]$, como $[-1,4]$ ou $[-3,1]$.

Quem cai nela marca A, B.

-4-3-2-10123400,20,40,60,811,21,4xtangentex ≈ −1,98x ≈ 1,98máximo 4/3
  • tan(α+β) = 4/(3+x²)
  • tan(π/6) = 1/√3
As soluções são os x em que a curva 4/(3+x²) fica acima da reta 1/√3: o trecho entre −1,98 e 1,98.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

Ver a resolução completa

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