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Matemática

ITA 2006 Matemática — Questão 3

Sejam AA e BB subconjuntos finitos de um mesmo conjunto XX, tais que n(B∖A)n(B \setminus A), n(A∖B)n(A \setminus B) e n(A∩B)n(A \cap B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r>0r > 0. Sabendo que n(B∖A)=4n(B \setminus A) = 4 e n(A∪B)+r=64n(A \cup B) + r = 64, então, n(A∖B)n(A \setminus B) é igual a

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Gabarito do ITA 2006 Matemática, questão 3: alternativa B

1717

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você parte A ∪ B em três regiões disjuntas, em vez de somar n(A) + n(B) e contar a interseção duas vezes.

Por onde começar · passo 1 de 4

Separe o diagrama em regiões disjuntas

Quais três regiões formam A ∪ B sem sobreposição?

A∪BA \cup B é a união disjunta de B∖AB\setminus A (só B), A∖BA\setminus B (só A) e A∩BA\cap B. Por isso n(A∪B)n(A\cup B) é exatamente a soma das três, sem correção.

A armadilha

Se você escreve n(A ∪ B) = n(A) + n(B), conta a interseção duas vezes: sai 16 + 5r + r = 64, r = 8 e n(A∖B) = 12. Se esquece as parcelas constantes e faz só 4r = 64, sai r = 16 e 20.

Quem cai nela marca A, C.

05101520253041730
B∖A (só B)
A∖B (só A)
A ∩ B
As três regiões disjuntas formam a PA 4, 17, 30 (razão 13); somam 51, e 51 + 13 = 64.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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