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Matemática

ITA 2007 Matemática — Questão 19

Sejam P1P_1 e P2P_2 octógonos regulares. O primeiro está inscrito e o segundo circunscrito a uma circunferência de raio RR. Sendo A1A_1 a área de P1P_1 e A2A_2 a área de P2P_2, então a razão A1/A2A_1/A_2 é igual a

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Gabarito do ITA 2007 Matemática, questão 19: alternativa E

(2+2)/4(2 + \sqrt{2})/4.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você enxerga que os dois octógonos são semelhantes e que a razão de áreas é o quadrado da razão dos apótemas.

Por onde começar · passo 1 de 4

Identifique os apótemas

Qual é a distância do centro a um lado de cada octógono?

P₂ é circunscrito, então seus lados tangenciam a circunferência e o apótema é RR. P₁ é inscrito, com vértices sobre a circunferência. O apótema é o cateto adjacente ao ângulo de 360°16=22,5°\frac{360°}{16} = 22{,}5° num triângulo de hipotenusa RR: a1=Rcos⁡22,5°a_1 = R\cos 22{,}5°.

A armadilha

Quem compara o octógono circunscrito com o quadrado circunscrito, e não com o inscrito, encontra 2(√2 − 1) e marca C. Quem erra a fórmula do arco metade em cos²22,5° cai em D.

Quem cai nela marca C, D.

RP₁ (inscrito)P₂ (circunscrito)R cos 22,5°R22,5°
O apótema de P₂ é o próprio raio R, e o de P₁ é R·cos 22,5°. A razão de semelhança é cos 22,5°.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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