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Matemática

ITA 2006 Matemática — Questão 4

Seja f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=77 sen⁡[5 (x+π/6)]f(x) = \sqrt{77}\, \operatorname{sen}[5\,(x + \pi/6)] e seja BB o conjunto dado por B={x∈R:f(x)=0}B = \{x \in \mathbb{R} : f(x) = 0\}. Se mm é o maior elemento de B∩(−∞; 0)B \cap (-\infty;\, 0) e nn é o menor elemento de B∩(0; +∞)B \cap (0;\, +\infty), então m+nm + n é igual a

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Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2006 Matemática, questão 4: alternativa E

−2π15-\dfrac{2\pi}{15}

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você acha os zeros de um seno com fase multiplicada e escolhe os zeros vizinhos da origem, um de cada lado.

Por onde começar · passo 1 de 4

Descarte a amplitude

O fator √77 muda algum zero da função?

Não: 77≠0\sqrt{77}\neq 0, então f(x)=0  ⟺  sen⁡[5(x+π/6)]=0f(x) = 0 \iff \operatorname{sen}[5(x + \pi/6)] = 0.

A armadilha

O 5 multiplica (x + π/6) inteiro. Quem trata como sen(5x + π/6) acha zeros em kπ/5 − π/30, tira m = −π/30 e n = π/6 e soma 2π/15, com o sinal trocado. O √77 é só enfeite: a amplitude não mexe nos zeros.

Quem cai nela marca A, C.

-1-0,8-0,6-0,4-0,200,20,40,60,8-10-8-6-4-20246810x (rad)f(x)m = −π/6n = π/30−11π/307π/30
Zeros a cada π/5; os vizinhos da origem são −π/6 (à esquerda) e π/30 (à direita).

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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