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Matemática

ITA 2007 Matemática — Questão 10

Sendo cc um número real a ser determinado, decomponha o polinômio 9x2−63x+c9x^2 - 63x + c, numa diferença de dois cubos

(x+a)3−(x+b)3.(x + a)^3 - (x + b)^3.

Neste caso, ∣ a+∣b∣−c ∣|\, a + |b| - c \,| é igual a

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Gabarito do ITA 2007 Matemática, questão 10: alternativa B

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você expande a diferença de cubos com cuidado e iguala coeficientes — e se lê o módulo de $b$ dentro da expressão final.

Por onde começar · passo 1 de 5

Expanda a diferença de cubos

O que acontece com o termo em x3x^3 quando você subtrai os dois cubos?

(x+a)3=x3+3ax2+3a2x+a3(x+a)^3 = x^3 + 3ax^2 + 3a^2x + a^3, idem para bb. Subtraindo, x3x^3 some e sobra um polinômio de grau 2 — por isso a decomposição é possível.

A armadilha

Com $a = -2$, $b = -5$ e $c = 117$, quem esquece o módulo em $|b|$ calcula $|-2 - 5 - 117| = 124$ e marca C.

Quem cai nela marca C.

termode (x+a)³ − (x+b)³de 9x² − 63x + cconclusão
x³1 − 1 = 00ok, cancela
x²3(a − b)9a − b = 3
x3(a² − b²)−63a + b = −7
constantea³ − b³cc = 117
respostaa = −2, b = −5|−2 + 5 − 117|114
Igualar coeficiente a coeficiente transforma a identidade em um sistema simples em a, b e c.

Na resolução completa vêm os outros 4 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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