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Matemática

ITA 2007 Matemática — Questão 9

Seja Q(z)Q(z) um polinômio do quinto grau, definido sobre o conjunto dos números complexos, cujo coeficiente de z5z^5 é igual a 1. Sendo z3+z2+z+1z^3 + z^2 + z + 1 um fator de Q(z)Q(z), Q(0)=2Q(0) = 2 e Q(1)=8Q(1) = 8, então, podemos afirmar que a soma dos quadrados dos módulos das raízes de Q(z)Q(z) é igual a

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Gabarito do ITA 2007 Matemática, questão 9: alternativa B

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você usa que, num par de raízes conjugadas, $|z|^2 = z\bar z$ é o produto das raízes — sem precisar calcular raiz nenhuma.

Por onde começar · passo 1 de 5

Escreva Q como produto

Q é mônico de grau 5 e tem um fator mônico de grau 3. Que forma tem o outro fator?

O cofator é mônico de grau 2: Q(z)=(z3+z2+z+1)(z2+bz+c)Q(z) = (z^3 + z^2 + z + 1)(z^2 + bz + c), com b,c∈Cb, c \in \mathbb{C} a determinar.

A armadilha

Quem soma só os módulos das raízes do fator dado esquece o fator quadrático (3, letra D); quem conta o par conjugado uma vez só soma 3 + 2 = 5 (letra C). Quem calcula $\sum z_k^2$ em vez de $\sum |z_k|^2$ obtém −4, que não está nas opções e faz perder tempo.

Quem cai nela marca C, D.

|z|² = 1|z|² = 2−1i−i(1+i√7)/2(1−i√7)/2
Três raízes no círculo de raio 1 e duas no de raio √2: 3·1 + 2·2 = 7.

Na resolução completa vêm os outros 4 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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