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Matemática

ITA 2007 Matemática — Questão 13

Seja xx um número real no intervalo 0<x<π/20 < x < \pi/2. Assinale a opção que indica o comprimento do menor intervalo que contém todas as soluções da desigualdade

12tg⁡(π2−x)−3(cos⁡2x2−12)sec⁡(x)≥0.\frac{1}{2}\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) - \sqrt{3}\left(\cos^2\frac{x}{2} - \frac{1}{2}\right)\sec(x) \geq 0.

👉 Tente resolver: clique na alternativa e confirme sua resposta.Rascunho de prova: ✕ elimina, ★ marca como provável (no celular, arraste a alternativa para o lado).

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Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2007 Matemática, questão 13: alternativa D

π/6\pi/6

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você enxerga, por trás da expressão assustadora, a identidade do arco metade que faz o segundo termo virar uma constante.

Por onde começar · passo 1 de 4

Reescreva tg(π/2 − x)

tg(π/2 − x) é igual a qual função de x?

Arcos complementares: tg⁡(π/2−x)=cotg⁡x=cos⁡xsen⁡x\operatorname{tg}(\pi/2 - x) = \operatorname{cotg} x = \dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}, bem definida e positiva em 0<x<π/20 < x < \pi/2.

A armadilha

Quem não simplifica cos²(x/2) − 1/2 e tenta estudar o sinal termo a termo se perde; quem chega em cot x ≥ √3 mas inverte o sentido (achando x ≥ π/6) mede o intervalo [π/6, π/2) e marca π/3.

Quem cai nela marca B, A.

00,20,40,60,811,21,401234567x (rad)valorx = π/6π/2
  • cotg x
  • √3
A cotangente fica acima de √3 só à esquerda de π/6: aí está todo o conjunto-solução.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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