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Matemática

ITA 2007 Matemática — Questão 14

Assinale a opção que indica a soma dos elementos de A∪BA \cup B, sendo:

A={xk=sen⁡2(k2π24):k=1,2}  e A = \left\{x_k = \operatorname{sen}^2\left(\frac{k^2\pi}{24}\right) : k = 1, 2\right\} \ \text{ e } B={yk=sen⁡2((3k+5)π24):k=1,2}.B = \left\{y_k = \operatorname{sen}^2\left(\frac{(3k + 5)\pi}{24}\right) : k = 1, 2\right\}.

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Gabarito do ITA 2007 Matemática, questão 14: alternativa C

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O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você reconhece arcos complementares em vez de calcular sen²(π/24) na marra.

Por onde começar · passo 1 de 4

Calcule os ângulos de A e B

Para k = 1 e 2, quais são k²π/24 e (3k + 5)π/24?

A: k=1⇒π/24k=1 \Rightarrow \pi/24; k=2⇒4π/24=π/6k=2 \Rightarrow 4\pi/24 = \pi/6. B: k=1⇒8π/24=π/3k=1 \Rightarrow 8\pi/24 = \pi/3; k=2⇒11π/24k=2 \Rightarrow 11\pi/24. Atenção ao k2k^2: para k=2k=2 é 44, não 22.

A armadilha

Quem tenta calcular sen²(π/24) e sen²(11π/24) com arco metade entra em radicais duplos e escolhe D ou E, que têm cara de resposta; quem calcula k²π/24 como 2kπ/24 erra os elementos de A.

Quem cai nela marca D, E.

elementoângulovalor de sen²par complementar
x₁ (A, k=1)π/24≈ 0,017com y₂ → soma 1
x₂ (A, k=2)π/61/4com y₁ → soma 1
y₁ (B, k=1)π/33/4com x₂
y₂ (B, k=2)11π/24≈ 0,983com x₁
soma de A ∪ B2
Os quatro elementos são distintos e se agrupam em dois pares de arcos complementares.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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