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Matemática

ITA 2006 Matemática — Questão 16

Considere o polinômio p(x)=x3−(a+1)x+ap(x) = x^3 - (a + 1)x + a, onde a∈Za \in \mathbb{Z}. O conjunto de todos os valores de aa, para os quais o polinômio p(x)p(x) só admite raízes inteiras, é

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Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2006 Matemática, questão 16: alternativa D

{n(n+1); n∈N}\{n(n + 1);\ n \in \mathbb{N}\}

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você enxerga a raiz x = 1 escondida (soma dos coeficientes zero) e transforma o problema em 'discriminante quadrado perfeito'.

Por onde começar · passo 1 de 4

Ache a raiz que não depende de a

Quanto vale p(1)?

p(1)=1−(a+1)+a=0p(1) = 1 - (a+1) + a = 0 para todo aa. Então x=1x = 1 é sempre raiz, inteira, e o problema se reduz ao quociente.

A armadilha

Testar só um valor pequeno engana: a = 2 serve e está em A e em C, mas a = 4 (de A e B) e a = 16 (de C) dão 1 + 4a = 17 e 65, que não são quadrados.

Quem cai nela marca A, C, E.

a1 + 4aquadrado?raízes de p
0 = 0·11sim (1²)1, 0, −1
15nãoirracionais
2 = 1·29sim (3²)1, 1, −2
417nãoirracionais
6 = 2·325sim (5²)1, 2, −3
12 = 3·449sim (7²)1, 3, −4
1665nãoirracionais
Só os produtos de dois consecutivos tornam 1 + 4a um quadrado; a = 1, 4 e 16 derrubam E, A/B e C.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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