Matemática

ITA 2007 Matemática — Questão 18

Seja $P_n$ um polígono regular de $n$ lados, com $n > 2$ . Denote por $a_n$ o apótema e por $b_n$ o comprimento de um lado de $P_n$ . O valor de $n$ para o qual valem as desigualdades

$b_n \leq a_n \quad \text{e} \quad b_{n-1} > a_{n-1},$

pertence ao intervalo

👉 Tente resolver: clique na alternativa e confirme sua resposta.Rascunho de prova: ✕ elimina, ★ marca como provável (no celular, arraste a alternativa para o lado).

00:00

A
$3 < n < 7$ .
B
$6 < n < 9$ .
C
$8 < n < 11$ .
D
$10 < n < 13$ .
E
$12 < n < 15$ .

Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2007 Matemática, questão 18: alternativa B

$6 < n < 9$ .

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você escreve lado e apótema pela mesma tangente e acha o limiar de n sem calculadora.

Por onde começar · passo 1 de 5

Relacione lado e apótema

No triângulo formado pelo centro, o ponto médio de um lado e um vértice, qual é o ângulo no centro?

O ângulo central de cada lado é $2\pi/n$ . A apótema o divide ao meio, então o triângulo retângulo tem ângulo $\pi/n$ no centro, cateto adjacente $a_n$ e cateto oposto $b_n/2$ .

A armadilha

Quem confunde apótema com raio circunscrito resolve sen(π/n) ≤ 1/2, acha n = 6 e marca A. Quem só impõe b_n ≤ a_n, sem exigir que n seja o primeiro, aceita n = 9 ou 10 e marca C.

Quem cai nela marca A, C.