ITA 2022 (2ª fase) — Questão 2

Existe um limite inferior da distância Terra-Lua para que o nosso satélite não se desintegre por efeitos de maré. Para determinar uma expressão aproximada dessa distância, considere a Lua como a composição de dois semi-satélites esféricos idênticos, homogêneos e em contato. Os corpos descritos realizam um movimento circular ao redor da Terra, cuja massa é dada por $M_T$, com os três centros sempre colineares. A estabilidade da Lua é associada à tendência natural dessas duas metades manterem o contato entre si por efeitos gravitacionais. Considerando que o raio da lua $R_L$ é muito menor do que a distância Terra-Lua $D$ e que $M_T$ é muito maior que a massa da Lua $M_L$, faça o que se pede.

Caso necessário, use: $(1+x)^n \approx 1 + nx$, se $|x| \ll 1$.

a) Considerando que os semi-satélites têm a mesma densidade da Lua, determine os seus raios $r$ e massas $m$. Deixe sua resposta em termos dos dados do enunciado.

b) Estime o valor mínimo de $D$ para que a Lua não se desintegre. Deixe sua resposta em termos de $M_T$, $m$ e $r$.