ITA 2023 (2ª fase) — Questão 4

Considere uma nave espacial esférica, de raio $R$, com paredes de espessura $h \ll R$. No espaço profundo, existe uma radiação cósmica de fundo de temperatura $T_0$ (aproximadamente 2,7 K). Seja a temperatura da parede interna da nave $T_i$, e a temperatura da parede externa $T_e$, com $T_i > T_e > T_0$. A condutividade térmica do material que compõe a parede da nave é $\kappa$; o seu calor específico é $c$ e sua densidade de massa é $\rho$. A emissividade da nave é unitária e a constante de Stefan-Boltzmann é dada por $\sigma$. Quando ocorrem pequenas variações de temperatura na parede interna da nave, a condição de fluxo estacionário de calor é perturbada e o sistema tende a uma nova situação de fluxo estacionário de energia. A constante de tempo característica $\tau$ desse processo pode ser estimada apenas em termos das características do material que compõem o revestimento da nave – $\kappa$, $c$ e $\rho$ – bem como sua espessura $h$.

Faça o que se pede:

a) obtenha a equação polinomial cuja raiz forneça $T_e$ com os coeficientes em termos de $\kappa$, $\sigma$, $h$, $T_i$ e $T_0$, considerando a condição de fluxo de calor estacionário;

b) estime, por análise dimensional, uma expressão para $\tau$.