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Matemática

ITA 2027 Matemática — Questão 11

Um tetraedro possui quatro arestas de tamanho 3\sqrt{3} e duas arestas opostas de tamanho 22. O volume desse tetraedro é

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Gabarito oficial do ITA 2027 Matemática, questão 11: alternativa B

23\dfrac{2}{3}.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você enxerga a simetria do tetraedro: o plano pelos pontos médios corta o sólido em duas pirâmides iguais com base conhecida.

Por onde começar · passo 1 de 5

Nomeie e ache as medianas das faces isósceles

Em ABC com CA = CB = √3 e AB = 2, quanto mede CM, com M ponto médio de AB?

Sejam AB=CD=2AB = CD = 2 e as outras quatro arestas 3\sqrt3. A face ABCABC é isósceles de base ABAB, então a mediana CMCM é também altura: CM=3−1=2CM = \sqrt{3 - 1} = \sqrt2. Pelo mesmo motivo DM=2DM = \sqrt2 e DM⊥ABDM \perp AB.

A armadilha

Quem tenta usar a fórmula do tetraedro regular, ou toma a altura de uma face como altura do sólido, superestima o volume e cai em 4/3 ou 1.

Quem cai nela marca C, D.

seção CMDCM = √2DM = √2CD = 2MN = 190°CDMNAB ⟂ plano, passa por M
A seção CMD é um triângulo retângulo isósceles de área 1; AB = 2 atravessa esse plano perpendicularmente em M.

Na resolução completa vêm os outros 4 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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O que a questão pede

O volume de um tetraedro que não é regular: quatro arestas medem 3\sqrt3 e as duas opostas (que não se tocam) medem 2. Não há altura dada; o trabalho é achar uma decomposição em que base e altura sejam fáceis.

Antes de começar, revise

  • Volume da pirâmide
  • Mediana do triângulo isósceles
  • Reta perpendicular a um plano
  • Recíproca de Pitágoras

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