EsmerEntrar
Matemática

ITA 2027 Matemática — Questão 10

Seja p(x)p(x) um polinômio com coeficientes reais tal que p(1+i)=0p(1+i) = 0 e p(1)=−1p(1) = -1. Sabendo que p(p(x))−p(x3)p(p(x)) - p(x^3) é um polinômio de grau 88, o valor de p(−1)p(-1) é

👉 Tente resolver: clique na alternativa e confirme sua resposta.Rascunho de prova: ✕ elimina, ★ marca como provável (no celular, arraste a alternativa para o lado).

00:00
Só quero ver o gabarito

Gabarito oficial do ITA 2027 Matemática, questão 10: alternativa E

−15-15.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você usa o grau da composição p(p(x)) para descobrir o grau e o coeficiente líder de p antes de qualquer conta.

Por onde começar · passo 1 de 4

Compare os graus das duas parcelas

Se p tem grau n e coeficiente líder a, quais são o grau e o termo líder de p(p(x)) e de p(x³)?

p(p(x))p(p(x)) tem grau n2n^2 e termo líder a⋅anxn2=an+1xn2a\cdot a^n x^{n^2} = a^{n+1}x^{n^2}. p(x3)p(x^3) tem grau 3n3n e termo líder ax3na x^{3n}. Se n2≠3nn^2 \neq 3n, a diferença tem grau max⁡(n2,3n)∈{6,16,25,… }\max(n^2, 3n) \in \{6, 16, 25, \dots\} para n≥2n \ge 2, nunca 8. Logo n2=3nn^2 = 3n, isto é, n=3n = 3.

A armadilha

Quem supõe p mônico de grau 2 ou esquece que o termo de grau 9 precisa se cancelar (o que força o coeficiente líder a ser 1) não chega a p(x) = (x² − 2x + 2)(x − 2) e erra p(−1).

Quem cai nela marca B, D, A.

-10123-25-20-15-10-50510xp(x)p(−1) = −15p(1) = −1raiz real x = 2
O único p compatível: só uma raiz real (x = 2), passa por (1, −1) e vale −15 em x = −1.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

Ver a resolução completa

Entenda por que cada alternativa está certa ou errada, passo a passo — gerado pela IA do Esmer.

Com a conta grátis você vê 5 explicações completas. No Premium, por R$ 29/mês, todas — e ainda o diagnóstico do seu erro.

⚡ Com a conta grátis você responde as questões oficiais e vê o gabarito

🧭 Explicação detalhada ITA

O que a questão pede

O valor de p(−1)p(-1). Para isso é preciso descobrir pp inteiro, e o dado que parece estranho, “p(p(x))−p(x3)p(p(x)) - p(x^3) tem grau 8”, é o que revela o grau e o coeficiente líder de pp. As outras duas informações (1+i1 + i é raiz e p(1)=−1p(1) = -1) completam o serviço.

Antes de começar, revise

  • Grau da composição
  • Grau de uma diferença
  • Raízes conjugadas
  • Valor numérico

🔒 No Esmer: a sacada que destrava a questão, a resolução com toda a álgebra, a conferência por outro caminho, por que cada alternativa errada atrai e as questões para treinar depois.

Criar conta grátis: 1 explicação detalhada por dia →
Encontrou um problema nesta questão?

📄 Ver esta questão na prova oficial do ITA (PDF, Fase 1)

Questões relacionadas

Mais questões