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Matemática

ITA 2005 Matemática — Questão 14

O número complexo 2+i2 + i é raiz do polinômio

f(x)=x4+x3+px2+x+q ,f(x) = x^4 + x^3 + px^2 + x + q\,,

com p,q∈Rp, q \in \mathbb{R}. Então, a alternativa que mais se aproxima da soma das raízes reais de ff é

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Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2005 Matemática, questão 14: alternativa E

−5-5.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você usa o conjugado: coeficientes reais garantem que 2 − i também é raiz, e isso já fixa um fator quadrático.

Por onde começar · passo 1 de 4

Use o conjugado para montar um fator

Se 2 + i é raiz e p, q são reais, que outra raiz vem de graça?

Polinômio com coeficientes reais tem raízes não reais em pares conjugados, então 2−i2-i também é raiz. O fator correspondente tem soma 4 e produto (2+i)(2−i)=5(2+i)(2-i)=5.

A armadilha

Quem soma todas as raízes por Girard ($-1$) ou esquece de tirar a parte complexa ($4$ = soma de $2\pm i$) cai em números que aparecem como distratores; o pedido é só a soma das raízes reais.

Quem cai nela marca A, B, C, D.

-4-3-2-10123020406080xf(x)raiz −3raiz −2sem raiz real perto de 2
O gráfico só cruza o eixo em −3 e −2; o fator x² − 4x + 5 é sempre positivo e responde pelas raízes 2 ± i.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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