Pirâmide: o 1/3, o corte paralelo e as faces

Corte uma pirâmide e conte as faces; reduza-a e o volume cai com o cubo da razão.

caiu 5× no ENEM · 2009 (2) · 2020 · 2019aula de 2 minutos

Em 60 segundos

A pirâmide tem uma base poligonal e faces laterais triangulares que se encontram no vértice. Volume: $V = \frac{1}{3}A_b\,h$ , um terço do prisma de mesma base e altura. A altura $h$ desce do vértice até a base, na vertical; o apótema da pirâmide é a altura de uma face lateral e é maior que $h$ . Um plano paralelo à base separa no topo uma pirâmide semelhante à original, com razão $k$ : áreas mudam com $k^2$ e o volume com $k^3$ . Embaixo sobra o tronco, com faces laterais em forma de trapézio. Em qualquer corte plano, cada face atravessada vira um lado da seção.

$V = \dfrac{1}{3} A_b \cdot h \qquad \dfrac{V_{\text{pequena}}}{V_{\text{grande}}} = k^3$

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V = (1/3) · área da base · altura: um terço do prisma
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Apótema (altura da face) é maior que a altura da pirâmide
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Corte paralelo à base: pirâmide semelhante em cima, tronco embaixo
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Razão k nas medidas: k² nas áreas, k³ no volume
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Lados da seção = número de faces que o plano atravessa

Veja funcionando

Corte da pirâmide de base quadrada pelo meio de duas faces opostas: altura e meio lado são catetos e o apótema é a hipotenusa. O corte paralelo à base separa uma pirâmide pequena semelhante (aqui k = 1/2, volume 1/8) e deixa embaixo um tronco.

🎛️ Dobre a altura e depois o lado: o volume dobra num caso e quadruplica no outro. Mexa no corte e veja que a ponta com metade da altura leva só 1/8 do volume.

🧪 Simulação

Pirâmide de base quadrada, ponta e tronco

Mexa no lado da base, na altura e em quanto da altura fica na ponta cortada; veja o volume, o apótema e o que sobra para o tronco.

Lado da base6 cmAltura8 cmFração da altura na ponta cortada0,5

Área da base: 36 cm²
Volume da pirâmide: 96 cm³
Prisma de mesma base e altura: 288 cm³
Apótema da pirâmide: 8,54 cm
Volume da ponta (fração k³): 12 cm³
Volume do tronco: 84 cm³

Acima do corte, uma pirâmide semelhante; abaixo, o tronco.

A pirâmide tem 96 cm³, um terço dos 288 cm³ do prisma; o apótema mede 8,54 cm, mais que a altura. A ponta com 0,5 da altura leva só 12 cm³ (fração k³) e o tronco fica com 84 cm³.