Grandezas diretas: mesma razão, e o expoente manda

Dobrou uma, dobrou a outra. Se for ao quadrado, dobrou uma, quadruplicou a outra.

caiu 13× no ENEM · 2018 (2) · 2013 (2) · 2012 (2)aula de 2 minutos

Em 60 segundos

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o quociente entre elas é constante: $y = k\cdot x$ . Dobrou $x$ , dobra $y$ ; o gráfico é uma reta que sai da origem. "Na mesma proporção" quer dizer a mesma taxa: se um grupo cresceu 25%, o outro também cresce 25%. O ENEM gosta de ir além: "proporcional ao quadrado de $d$ " vira $k\cdot d^2$ , e aí multiplicar $d$ por $c$ multiplica o resultado por $c^2$ . Com vários fatores, tudo o que é direto vai para o numerador (com seu expoente), o inverso vai para o denominador, e uma constante $k$ junta tudo.

$\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2} = k \qquad y = k\,x^n \Rightarrow x\times c \;\Rightarrow\; y\times c^n$

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Direta: y/x é sempre o mesmo número k
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Gráfico de direta: reta que passa pela origem
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"Na mesma proporção" = mesma taxa percentual
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Proporcional ao quadrado: x ×c faz y ×c²
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Direto no numerador, inverso no denominador, uma constante k

Veja funcionando

y = 2x (direta, k = 2)
y = 0,5x (direta, k = 0,5)
y = 3 + 0,5x (NÃO é direta)

Nas retas pela origem, y/x é constante e dobrar x dobra y. Com uma parte fixa (reta que corta o eixo y acima de zero), dobrar x não dobra y: não é proporcionalidade direta.

🎛️ Deixe o fator em 2 e troque o expoente de 1 para 2 e 3: o resultado passa de ×2 para ×4 e ×8. Mude k e veja que o fator não se altera.

🧪 Simulação

Proporcional a x, a x² ou a x³

Escolha o expoente e o fator que multiplica a grandeza; veja por quanto o resultado fica multiplicado.

Expoente (1 = direta simples)2Fator que multiplica a grandeza2Constante k1Valor inicial da grandeza1

Resultado inicial: 1
Grandeza nova: 2
Resultado novo: 4
Resultado ficou multiplicado por: 4

y = k·xⁿ
direta simples (n = 1)

Com n = 1 é reta pela origem; com n = 2 ou 3 o resultado dispara mais rápido.

Multiplicando a grandeza por 2 com expoente 2, o resultado vai de 1 para 4: fica ×4, que é 2 elevado a 2. O k não muda o fator.