Matemática

ITA 2007 Matemática — Questão 4

Assinale a opção que indica o módulo do número complexo

$\frac{1}{1 + i \operatorname{cotg} x}, \quad x \neq k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

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00:00

A
$|\cos x|$
B
$(1 + \operatorname{sen} x)/2$
C
$\cos^2 x$
D
$|\operatorname{cossec} x|$
E
$|\operatorname{sen} x|$

Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2007 Matemática, questão 4: alternativa E

$|\operatorname{sen} x|$

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você usa |1/z| = 1/|z| e a identidade 1 + cotg²x = cossec²x sem esquecer o valor absoluto.

Por onde começar · passo 1 de 4

Use o módulo do inverso

Para z ≠ 0, quanto vale |1/z| em termos de |z|?

$|1/z| = 1/|z|$ , porque $|z \cdot (1/z)| = |1| = 1$ . A condição $x \neq k\pi$ garante que $\operatorname{cotg} x$ existe, e $1 + i\operatorname{cotg} x$ nunca é zero (parte real 1).

A armadilha

Quem cai nela marca D, A.

O complexo 1 + i cotg x no plano: catetos 1 e cotg x, hipotenusa |cossec x|. O módulo pedido é o inverso dessa hipotenusa.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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📚 Curso: Números Complexos › O plano de Argand-Gauss · Funções › Transformações, composição e inversa

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