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Matemática

ITA 2005 Matemática — Questão 15

Considere a equação em xx

ax+1=b1/x ,a^{x+1} = b^{1/x}\,,

onde aa e bb são números reais positivos, tais que ln⁡b=2ln⁡a>0\ln b = 2 \ln a > 0. A soma das soluções da equação é

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Gabarito do ITA 2005 Matemática, questão 15: alternativa B

−1-1.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você aplica logaritmo nos dois lados e enxerga que a condição ln b = 2 ln a transforma a equação exponencial numa quadrática.

Por onde começar · passo 1 de 3

Aplique logaritmo natural

Os dois lados são positivos? O que vira a equação ao tomar ln?

Como a,b>0a,b>0, as potências são positivas e podemos tomar ln. O expoente 1/x1/x exige x≠0x\neq0.

A armadilha

Quem vê só a solução óbvia x = 1 (que dá a² = b) marca 1 e esquece a raiz negativa x = −2; quem confunde soma com produto das raízes (−2) marca 2.

Quem cai nela marca C, E.

-3-2-1012-2-101234xx² + x − 2x = −2x = 1eixo x = −1/2
As raízes são simétricas em torno do eixo x = −1/2, então a soma é 2 · (−1/2) = −1.

Na resolução completa vêm os outros 2 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

Ver a resolução completa

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