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Matemática

ITA 2005 Matemática — Questão 4

Sobre o número x=7−43+3x = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{3} é correto afirmar que

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Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2005 Matemática, questão 4: alternativa B

xx é racional.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você desaninha um radical duplo e lembra que √(a²) = |a|, não a.

Por onde começar · passo 1 de 4

Reconheça um quadrado perfeito sob a raiz

Que (a − b√3)² dá 7 − 4√3?

Procure (a−b3)2=a2+3b2−2ab3(a - b\sqrt{3})^2 = a^2 + 3b^2 - 2ab\sqrt{3} com a2+3b2=7a^2 + 3b^2 = 7 e 2ab=42ab = 4. Com a=2, b=1a = 2,\ b = 1: 4+3=74 + 3 = 7 e 2⋅2⋅1=42 \cdot 2 \cdot 1 = 4.

A armadilha

Quem escreve √((2 − √3)²) = √3 − 2 (sinal errado) obtém x = 2√3 − 2 ≈ 1,46: aí x parece estar em ]0, 2[, x² = 16 − 8√3 parece irracional e √(2x) também — as letras A, C e D foram montadas para esse erro.

Quem cai nela marca A, C, D.

]0, 2[ (letra A)]2, 3[ (letra E)00,511,522,53x = 2 (certo)2√3 − 2 (sinal errado)2 − √3√3
x = 2 cai exatamente na fronteira dos dois intervalos abertos, fora de ambos; o valor errado 1,46 é o que faria a A parecer certa.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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