EsmerEntrar
Matemática

ITA 2006 Matemática — Questão 9

O conjunto solução de (tg⁡2x−1)(1−cotg⁡2x)=4(\operatorname{tg}^2 x - 1)(1 - \operatorname{cotg}^2 x) = 4, x≠kπ/2x \neq k\pi/2, k∈Zk \in \mathbb{Z}, é

👉 Tente resolver: clique na alternativa e confirme sua resposta.Rascunho de prova: ✕ elimina, ★ marca como provável (no celular, arraste a alternativa para o lado).

00:00
Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2006 Matemática, questão 9: alternativa D

{π8+kπ4; k∈Z}\left\{\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{4};\ k \in \mathbb{Z}\right\}

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você reconhece que tg x − cotg x é −2·cotg 2x e transforma uma equação de grau 4 em tg²(2x) = 1.

Por onde começar · passo 1 de 5

Reescreva o segundo fator em função de tg x

Com t = tg x, quanto vale 1 − cotg²x?

Como cotg⁡x=1/t\operatorname{cotg} x = 1/t (bem definido porque x≠kπ/2x \neq k\pi/2 garante t≠0t \neq 0 e tt finito), 1−cotg⁡2x=t2−1t21 - \operatorname{cotg}^2 x = \dfrac{t^2 - 1}{t^2}. O produto fica um quadrado perfeito dividido por t2t^2.

A armadilha

Quem testa x = π/4 por reflexo (onde tg = 1) zera o produto em vez de dar 4 e marca B; quem confunde arco duplo com arco simples procura tg² x = 3 ou 1/3 e cai em A ou C.

Quem cai nela marca A, B, C.

00,20,40,60,811,202468x (rad)valor do produtoπ/8π/4: zera3π/8
  • (tg²x − 1)(1 − cotg²x)
  • y = 4
No intervalo (0, π/2) o produto só vale 4 em π/8 e 3π/8 — espaçados de π/4, como na família da resposta.

Na resolução completa vêm os outros 4 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

Ver a resolução completa

Entenda por que cada alternativa está certa ou errada, passo a passo — gerado pela IA do Esmer.

Com a conta grátis você vê 5 explicações completas. No Premium, por R$ 29/mês, todas — e ainda o diagnóstico do seu erro.

⚡ Com a conta grátis você responde as questões oficiais e vê o gabarito

Encontrou um problema nesta questão?

📄 Ver esta questão na prova oficial do ITA (PDF, Matemática)

Onde estudar isto

Questões relacionadas

Mais questões