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Matemática

ITA 2005 Matemática — Questão 8

Uma esfera de raio rr é seccionada por nn planos meridianos. Os volumes das respectivas cunhas esféricas contidas em uma semi-esfera formam uma progressão aritmética de razão πr345\dfrac{\pi r^3}{45}. Se o volume da menor cunha for igual a πr318\dfrac{\pi r^3}{18}, então nn é igual a

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Gabarito do ITA 2005 Matemática, questão 8: alternativa C

66.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você interpreta n planos meridianos como n cunhas em cada semiesfera e iguala a soma da PA ao volume da semiesfera.

Por onde começar · passo 1 de 4

Conte as cunhas

n planos passando pelo mesmo eixo dividem a esfera em quantas cunhas? E uma semiesfera?

Cada plano meridiano contém o eixo; n deles dividem a esfera em 2n2n cunhas, n de cada lado de qualquer um desses planos. A semiesfera tem então n cunhas, cujos volumes formam a PA.

A armadilha

O erro clássico é igualar a soma das cunhas ao volume da esfera inteira (4πr³/3) ou contar 2n cunhas na semiesfera; aí a equação não tem raiz inteira ou dá outro n.

Quem cai nela marca A, D, E.

0πr³/902πr³/904πr³/906πr³/908πr³/9010πr³/9012πr³/9014πr³/90579111315
cunha 1 (15°)
cunha 2 (21°)
cunha 3 (27°)
cunha 4 (33°)
cunha 5 (39°)
cunha 6 (45°)
As 6 cunhas da semiesfera crescem de 2 em 2 (unidades πr³/90) e somam 60, isto é, 2πr³/3.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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