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Matemática

ITA 2005 Matemática — Questão 7

A circunferência inscrita num triângulo equilátero com lados de 6 cm6\ \mathrm{cm} de comprimento é a interseção de uma esfera de raio igual a 4 cm4\ \mathrm{cm} com o plano do triângulo. Então, a distância do centro da esfera aos vértices do triângulo é (em cm)

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Gabarito do ITA 2005 Matemática, questão 7: alternativa C

55.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você monta o triângulo retângulo certo entre o centro da esfera, o plano e um ponto, usando inraio para a altura e circunraio para o vértice.

Por onde começar · passo 1 de 4

Localize o centro da esfera

Onde fica o centro de uma esfera em relação à circunferência que ela corta num plano?

A seção plana de uma esfera é uma circunferência cujo centro é o pé da perpendicular baixada do centro O. Aqui essa circunferência é a inscrita, então O está na reta perpendicular ao plano pelo incentro I.

A armadilha

Os vértices NÃO estão na esfera: a distância até eles não é o raio 4. E a altura do centro sai do inraio (√3), enquanto a distância horizontal até o vértice é o circunraio (2√3); trocar um pelo outro leva a 4 ou a outra conta errada.

Quem cai nela marca D, E.

plano do triânguloOI = √13OT = 4OV = 5OITVIT = √3 (inraio)IV = 2√3 (circunraio)
Corte vertical: o centro O fica √13 acima do incentro I; até o ponto de tangência T a distância é 4, até o vértice V é 5.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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