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Matemática

ITA 2006 Matemática — Questão 18

Sejam a reta s:12x−5y+7=0s : 12x - 5y + 7 = 0 e a circunferência C:x2+y2+4x+2y=11C : x^2 + y^2 + 4x + 2y = 11. A reta pp, que é perpendicular a ss e é secante a CC, corta o eixo OyOy num ponto cuja ordenada pertence ao seguinte intervalo

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Gabarito do ITA 2006 Matemática, questão 18: alternativa C

(−7412; −3012)\left(-\dfrac{74}{12};\, -\dfrac{30}{12}\right)

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você traduz "reta secante" em uma desigualdade: distância do centro à reta menor que o raio.

Por onde começar · passo 1 de 5

Ache centro e raio de C

Completando quadrados em x² + 4x e y² + 2y, quanto vale o raio?

(x+2)2−4+(y+1)2−1=11(x+2)^2 - 4 + (y+1)^2 - 1 = 11, logo (x+2)2+(y+1)2=16(x+2)^2 + (y+1)^2 = 16. Centro (−2,−1)(-2,-1), raio 44. Não use 11\sqrt{11}: o 11 não é o raio ao quadrado.

A armadilha

Quem escreve a reta como 5x + 12y + c = 0 e toma o intercepto como +c/12 (em vez de −c/12) espelha o intervalo e cai na D. Quem erra o raio (usa √11 sem completar quadrados) ou troca < por > vai para A, B ou E.

Quem cai nela marca D, A, B, E.

C: r = 4(−2, −1)stangente: b = 30/12tangente: b = −74/1230/12−74/124
As perpendiculares a s são secantes entre as duas tangentes; elas cortam Oy entre −74/12 e 30/12.

Na resolução completa vêm os outros 4 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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