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Matemática

ITA 2006 Matemática — Questão 17

Numa circunferência C1C_1 de raio r1=3 cmr_1 = 3\ \mathrm{cm} está inscrito um hexágono regular H1H_1; em H1H_1 está inscrita uma circunferência C2C_2; em C2C_2 está inscrito um hexágono regular H2H_2 e, assim, sucessivamente. Se AnA_n (em cm2\mathrm{cm}^2) é a área do hexágono HnH_n, então ∑n=1∞An\sum_{n=1}^{\infty} A_n (em cm2\mathrm{cm}^2) é igual a

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Gabarito do ITA 2006 Matemática, questão 17: alternativa B

54354\sqrt{3}

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você percebe que a razão da PG das áreas é o quadrado da razão dos raios, e não a própria razão dos raios.

Por onde começar · passo 1 de 4

Calcule a área do primeiro hexágono

Qual é o lado de um hexágono regular inscrito num círculo de raio 3?

O hexágono regular se divide em 6 triângulos equiláteros de lado igual ao raio. Com r1=3r_1 = 3: A1=6⋅34⋅32=2732 cm2A_1 = 6 \cdot \frac{\sqrt3}{4} \cdot 3^2 = \frac{27\sqrt3}{2}\ \mathrm{cm}^2.

A armadilha

Usar q = √3/2 (razão dos raios) em vez de q = 3/4 (razão das áreas) e esquecer o √3 da área do hexágono leva a somas como 27/(2 − √3), a alternativa D.

Quem cai nela marca D, C.

C₁H₁C₂H₂r₁ = 3r₂ = 3√3/2O
O raio de C₂ é o apótema de H₁: r₂ = r₁·√3/2. Cada nova figura é a anterior encolhida pelo fator √3/2.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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